аптымізацыя САУ

Пастаноўка задачы на аптымізацыю

Выбар структуры і параметраў САУ вызначае яе дынамічныя ўласцівасці. Ўстойлівасць сістэмы з'яўляецца, як правіла, неабходным, але далёка не-дастатковай умовай для таго, каб сістэма выконвала сваё прызначэнне. Узнікае задача забеспячэння не толькі ўстойлівасці, але і належнага якасці САУ і, больш за тое, найлепшага (аптымальнага) у тым ці іншым сэнсе, рэжыму функцыянавання. Такая задача можа быць названая задачай аптымізацыі.
Пастаноўка задачы на ​​аптымізацыю і яе рашэнне ўключае ў сябе шэраг этапаў:

• выбар і абгрунтаванне мэты аптымізацыі;
• ўзгадненне мэты з наяўнымі магчымасцямі, г.зн. ўлік абмежаванняў;
• рэалізацыя спосабу дасягнення мэты (эксперыментальнага значэння крытэрыю якасці) пры ўліку абмежаванняў.

Выбар і абгрунтаванне мэты аптымізацыі прадугледжваюць вызначэнне крытэрыяў якасці (мэтавых функцый), якія найбольш поўна адлюстроўвалі б мэты аптымізацыі. Гэты этап з'яўляецца адным з асноўных, так як ад правільнасці выбару крытэрыю якасці залежыць рашэнне задачы ў цэлым.
Другі этап рашэння задачы звязаны з вызначэннем абмежаванняў, якія павінны ўлічвацца ў працэсе аптымізацыі. Сэнс гэтага этапу заключаецца ў тым, што часта якасць сістэмы характарызуецца не адным, а групай паказчыкаў якасці, таму калі сістэма аптымізуецца па адным паказчыку якасці, то іншыя могуць дасягнуць такой велічыні. Такім чынам, калі выбраны якой-небудзь параметр сістэмы як крытэрый якасці, то на іншыя паказчыкі якасці і варьируемые параметры накладваюцца абмежаванні.
Пры рэалізацыі трэцяга этапу прымяняецца той ці іншы метад аптымізацыі, які забяспечвае рашэнне пастаўленай задачы - дасягненне экстрэмальнага значэння крытэрыю якасці пры ўліку абмежаванняў.
Для больш поўнага ўяўлення аб аптымізацыйных задачах спынімся падрабязней на характарыстыках аб'екта аптымізацыі і сукупнасці дадзеных, неабходных для аптымізацыі аб'екта.
Аб'екты аптымізацыі можна класіфікаваць па шэрагу прыкмет. Да такіх прыкметах адносяцца:
- лік оптимизируемых параметраў аб'екта;

- лік экстрэмуму характарыстыкі аб'екта, якая выкарыстоўваецца як паказчык якасці;
- аб'ём апрыёрнай інфармацыі аб аб'екце;
- спосаб матэматычнага апісання аб'екта.

Па ліку варьируемых параметраў адрозніваюць адно-і многопараметрические аб'екты. У залежнасці ад колькасці экстрэмуму аб'екты дзеляцца на одноэкстремальные і многоэкстремальные, прычым у апошнім выпадку аптымізацыйных задача зводзіцца да адшукання глабальнага экстрэмуму, г.зн. мінімальнага мінімуму і максімальнага максімуму.
У залежнасці ад аб'ёму апрыёрнай інфармацыі могуць быць экстрэмальныя аб'екты, для якіх існуе матэматычнае апісанне, і залежнасць паказчыка якасці ад оптимизируемых параметраў вядомая. Для такіх аб'ектаў маецца дастатковы аб'ём апрыёрнай інфармацыі. Існуе таксама вялікі клас аб'ектаў, для якіх няма ніякага матэматычнага апісання. Малы аб'ём апрыёрнай інфармацыі аб падобных аб'ектах паслужыў падставай называць іх аб'ектамі тыпу "чорная скрыня".
Пры агульнай фармулёўцы задачы на ​​аптымізацыю ўводзіцца паняцце сукупнасць дадзеных , Неабходных для аптымізацыі аб'екта (сістэмы). Сукупнасць даных уключае сукупнасці:

• умоў ;
• оптимизируемых параметраў ;
• паказчыкаў якасці ;
• абмежаванняў .

У сукупнасць умоў ўваходзяць характарыстыкі карысных сігналаў і перашкод Е, якія ўздзейнічаюць на аб'ект.
Сукупнасць оптимизируемых параметраў ўтварае вектар параметраў аб'екта аптымізацыі і характарызуе выгляд аптымізацыйных задачы. Калі лік оптимизируемых параметраў больш адзінкі (n> 1), то задача ставіцца да многопараметрическим, а пры n = 1 яна пераходзіць у однопараметрическую.
Сукупнасць паказчыкаў якасці ўтварае вектар паказчыкаў якасці аб'екта .
Пры неабходнасці характарызаваць аб'ект групай паказчыкаў якасці задача класіфікуецца як многокритериальная або вектарная, калі ж для аптымізацыі абраны толькі адзін паказчык якасці, то задача пераходзіць у однокритериальную або скалярнага.
Сукупнасць абмежаванняў гуляе вельмі важную ролю пры пастаноўцы і вырашэнні аптымізацыйных задачы. Найбольш часта сустракаюцца абмежаванні выгляду роўнасці ( ) Або няроўнасці ( ). Абмежаванні накладваюцца на варьируемые параметры, а таксама на паказчыкі якасці. Калі ў задачы вектарнай аптымізацыі перавесці частку паказчыкаў якасці ў разрад абмежаванняў, то можна яе звесці да однокритериальной (скалярнай) задачы.

У агульным выпадку аб'ект многопараметрической аптымізацыі можна прадставіць у выглядзе шматмернай сістэмы (рис.7.1) з n кіраванымі ўваходамі , Якія характарызуюць варьируемые параметры, пры дапамозе якіх вырабляецца аптымізацыя сістэмы. Аб'ект знаходзіцца таксама пад уздзеяннем сукупнасці умоў (карысных і якія замінаюць сігналаў) . Вектары X і E прыкладзены да аб'екта.
Інфармацыя аб працы аб'екта здымаецца з яго выхадаў. Адзін з іх уяўляе сабой скалярны або вектарны паказчык якасці. Скалярны паказчык якасці выкарыстоўваецца пры скалярнай аптымізацыі, а вектарны - пры многокритериальной (вектарнай) аптымізацыі.
Акрамя таго, аб'ект мае да + р выхадаў, адпаведных сукупнасці абмежаванняў выгляду роўнасцяў і няроўнасцей .
Пры выбары функцыі якасці варта кіравацца наступнымі патрабаваннямі. Функцыя якасці павінна

• адлюстроўваць найбольш важныя асаблівасці аб'екта, якія вызначаюць яго мэтавае прызначэнне;
• мець экстрэмуму ў дапушчальнай вобласці.

Варта адрозніваць лакальны і глабальны Экстрэмуму. Так, для аб'екта з адным варьируемым параметрам (n = 1) функцыя якасці ўяўляе сабой функцыю адной зменнай (Рис.7.2) , Якая можа мець некалькі лакальных экстрэмуму, але толькі адзін з іх з'яўляецца глабальных ( на рис.7.2 ). У агульным выпадку глабальны мінімум (максімум) вызначаецца як найменшы (найбольшы) з N лакальных:

(7.1)
Для 2-параметрычных аб'ектаў функцыя якасці ўяўляецца паверхняй складанай формы, а для многопараметрических аб'ектаў - гиперповерхностью.

Вельмі істотным з'яўляецца звядзенне аб одноэкстремальности функцыі якасці. Умове одноэкстремальности адказваюць выпуклыя функцыі. Так, выпуклая функцыя адной зменнай валодае наступным уласцівасцю: любая сечная перасякае выпуклую функцыю не больш чым у двух кропках (Рис.7.3) . Прыклад выпуклай функцыі 2-х зменных прыведзены на мал. 7.4.

Завяршальнымі этапамі рашэння аптымізацыйных задачы з'яўляюцца выбар метаду аптымізацыі і сама аптымізацыя, г.зн. знаходжанне аптымальных варьируемых параметраў (ўваходных зменных), пры якіх функцыя якасці дасягае мінімуму або максімуму.
Выбар метаду аптымізацыі залежыць, у асноўным, ад выгляду функцыі якасці, якая ў сваю чаргу вызначаецца асаблівасцямі аб'екта аптымізацыі: яго складанасцю, структурай, матэматычным апісаннем аб'екта, наяўнасцю апрыёрных дадзеных аб аб'екце.
Найбольш поўна распрацаваны метады аптымізацыі, якія атрымалі назву "метады матэматычнага праграмавання". Да іх ставяцца метады лінейнага, геаметрычнага, выпуклага, нелінейнага, стахастычнага праграмавання.
Для прымянення таго ці іншага метаду неабходна, каб функцыя якасці адказвала вызначаным патрабаванням: яе аналітычнае выраз павінна быць пэўнага выгляду.
Напрыклад, для прымянення метаду лінейнага праграмавання функцыя якасці:

(7.2)
Варта мець на ўвазе, што структура выказвання функцыі якасці цалкам залежыць ад асаблівасцяў матэматычнага апісання аб'екта аптымізацыі, так як функцыя якасці знаходзіцца з матэматычнага апісання аб'екта.
Як раней паказвалася, апісанне аб'екта можа быць прадстаўлена альбо ў выглядзе аналітычных суадносін, альбо ў выглядзе алгарытмаў. Апошняя форма апісання практыкуецца пры апісанні складаных аб'ектаў, калі мэтазгодна ўжыванне метадаў машыннага мадэлявання. Таму не заўсёды ўдаецца атрымаць функцыю якасці ў форме відавочнай аналітычнай залежнасці .
Усё гэта ўскладняе ў многіх выпадках ужыванне добра распрацаваных метадаў матэматычнага праграмавання.
Для вырашэння многопараметрических аптымізацыйных задач пры алгарытмічныя метадзе апісання аб'ектаў могуць быць выкарыстаны пошукавыя метады аптымізацыі.
Тлумачачы сутнасць аптымізацыйных задач, нельга не спыніцца на асаблівасцях задачы аптымальнага кіравання.
У задачах аптымальнага кіравання для дасягнення экстрэмальнага значэння функцыі якасці змяняецца кіравальнае ўздзеянне (кіраванне) і параметры сістэмы. У агульным выглядзе задача аптымальнага кіравання можа быць сфармуляваная наступным чынам: варта мінімізаваць функцыю якасці

дзе - вектар параметраў сістэмы,
- вектар кіравання,
пры выкананні сукупнасці абмежаванняў выгляду роўнасцяў і няроўнасцей, што накладаюцца на кіравальнае ўздзеянне, параметры і паказчыкі якасці.
Задачу аптымальнага кіравання можна разглядаць як найбольш агульную аптымізацыйных задачу, з якой выцякаюць розныя прыватныя задачы. Сапраўды, пры пастаноўцы задачы аптымальнага кіравання бярэцца поўная сукупнасць дадзеных.
Адметнай асаблівасцю гэтай задачы з'яўляецца ўключэнне ў сукупнасць умоў вэктару кіравання (Кіраўнікоў уздзеянняў), які забяспечвае экстремизацию функцыі якасці. Такім чынам сукупнасць умоў у агульным выпадку складаецца з сукупнасцей уздзеянняў: пастаянных, выпадковых (перашкод) і кіраўнікоў. вектар кіравання , Як і вектар параметраў , З'яўляюцца варьируемыми зменнымі.
Тэорыя аптымальнага кіравання, у асноўным, стваралася пры вырашэнні задач аўтаматычнага кіравання. Але гэта не значыць, што любая сістэма аўтаматычнага кіравання працуе па законах аптымальнага кіравання. Сістэмы аўтаматычнага кіравання могуць быць аптымальнымі ў пэўным сэнсе (у адпаведнасці з абраным паказчыкам якасці), а могуць быць неаптымальнай.
Але ў сістэмах аўтаматычнага кіравання найбольш поўна рэалізуюцца прынцыпы аптымальнага кіравання, г.зн. дасягненне экстрэмальнага значэння функцыі якасці за кошт змянення кіраўнікоў уздзеянняў (вэктару кіравання) і параметраў САУ. Характэрна таксама, што задачы аптымальнага кіравання цалкам залежаць ад асаблівасцяў аб'екта. Калі аб'ект кіравання і асяроддзе, у якой ён функцыянуе, не змяняюць сваіх уласцівасцяў, то задача зводзіцца да аднаразоваму дасягненню экстрэмальнай мэты, г.зн. да задачы аптымізацыі. Магчымы іншы выпадак, калі ўласцівасці аб'екта кіравання змяняюцца ў часе, з прычыны чаго неабходна арганізаваць працэс сачэння за экстрэмальнай мэтай. Такога роду задача з'яўляецца агульнай задачай аптымальнага кіравання.

У пачатак старонкі