ОПТИМІЗАЦІЯ САУ

Постановка завдання на оптимізацію

Вибір структури і параметрів САУ визначає її динамічні властивості. Стійкість системи є, як правило, необхідним, але далеко не-достатньою умовою для того, щоб система виконувала своє призначення. Виникає завдання забезпечення не тільки стійкості, а й належної якості САУ і, більш того, найкращого (оптимального) в тому чи іншому сенсі, режиму функціонування. Таке завдання може бути названа завданням оптимізації.
Постановка завдання на оптимізацію і її рішення включає в себе ряд етапів:

• вибір і обгрунтування мети оптимізації;
• узгодження мети з наявними можливостями, тобто облік обмежень;
• реалізація способу досягнення мети (експериментального значення критерію якості) при обліку обмежень.

Вибір і обгрунтування мети оптимізації передбачають визначення критеріїв якості (цільових функцій), які найбільш повно відображали б цілі оптимізації. Цей етап є одним з основних, так як від правильності вибору критерію якості залежить вирішення завдання в цілому.
Другий етап рішення задачі пов'язаний з визначенням обмежень, які повинні враховуватися в процесі оптимізації. Сенс цього етапу полягає в тому, що часто якість системи характеризується не одним, а групою показників якості, тому якщо система оптимізується за одним показником якості, то інші можуть досягти такої величини. Отже, якщо обраний який-небудь параметр системи як критерій якості, то на інші показники якості і варійовані параметри накладаються обмеження.
При реалізації третього етапу застосовується той чи інший метод оптимізації, що забезпечує рішення поставленого завдання - досягнення екстремального значення критерію якості при обліку обмежень.
Для більш повного уявлення про оптимізаційних задачах зупинимося докладніше на характеристиках об'єкта оптимізації і сукупності даних, необхідних для оптимізації об'єкта.
Об'єкти оптимізації можна класифікувати по ряду ознак. До таких ознак належать:
- число, що оптимізуються параметрів об'єкта;

- число екстремумів характеристики об'єкта, що використовується як показник якості;
- обсяг апріорної інформації про об'єкт;
- спосіб математичного опису об'єкта.

За кількістю змінних параметрів розрізняють одно- і багатопараметричні об'єкти. Залежно від кількості екстремумів об'єкти діляться на одноекстремальние і багатоекстремального, причому в останньому випадку оптимізаційна задача зводиться до відшукання глобального екстремуму, тобто мінімального мінімуму і максимального максимуму.
Залежно від обсягу апріорної інформації можуть бути екстремальні об'єкти, для яких існує математичний опис, і залежність показника якості від оптимізуються параметрів відома. Для таких об'єктів є достатній обсяг апріорної інформації. Існує також великий клас об'єктів, для яких немає ніякого математичного опису. Малий обсяг апріорної інформації про подібні об'єкти послужив приводом називати їх об'єктами типу "чорний ящик".
При загальному формулюванні завдання на оптимізацію вводиться поняття сукупність даних , Необхідних для оптимізації об'єкта (системи). Сукупність даних включає сукупності:

• умов ;
• оптимізуються параметрів ;
• показників якості ;
• обмежень .

У сукупність умов входять характеристики корисних сигналів і перешкод Е, що впливають на об'єкт.
Сукупність оптимізуються параметрів утворює вектор параметрів об'єкта оптимізації і характеризує вид оптимізаційної задачі. Якщо число оптимізуються параметрів більше одиниці (n> 1), то задача відноситься до багатопараметричних, а при n = 1 вона переходить в однопараметричними.
Сукупність показників якості утворює вектор показників якості об'єкта .
При необхідності характеризувати об'єкт групою показників якості завдання класифікується як багатокритеріальна або векторна, якщо ж для оптимізації обраний лише один показник якості, то задача переходить в однокритеріальних або скалярную.
Сукупність обмежень відіграє дуже важливу роль при постановці і вирішенні оптимізаційної задачі. Найбільш часто зустрічаються обмеження виду рівності ( ) Або нерівності ( ). Обмеження накладаються на варійовані параметри, а також на показники якості. Якщо в задачі векторної оптимізації перевести частину показників якості в розряд обмежень, то можна її звести до однокритерійним (скалярної) задачі.

У загальному випадку об'єкт багатопараметричної оптимізації можна представити у вигляді багатовимірної системи (рис.7.1) з n керованими входами , Що характеризують варійовані параметри, за допомогою яких проводиться оптимізація системи. Об'єкт знаходиться також під впливом сукупності умов (корисних і заважають сигналів) . Вектори X і E прикладені до об'єкта.
Інформація про роботу об'єкта знімається з його виходів. Один з них являє собою скалярний або векторний показник якості. Скалярний показник якості використовується при скалярною оптимізації, а векторний - при многокритериальной (векторної) оптимізації.
Крім того, об'єкт має до + р виходів, відповідних сукупності обмежень виду рівності і нерівностей .
При виборі функції якості слід керуватися наступними вимогами. Функція якості повинна

• відображати найбільш важливі особливості об'єкта, що визначають його цільове призначення;
• мати екстремум в допустимої області.

Слід розрізняти локальний і глобальний екстремуми. Так, для об'єкта з одним варійованим параметром (n = 1) функція якості являє собою функцію однієї змінної (Рис.7.2) , Яка може мати кілька локальних екстремумів, але лише один з них є глобальним ( на рис.7.2 ). У загальному випадку глобальний мінімум (максимум) визначається як найменший (найбільший) з N локальних:

(7.1)
Для 2-параметричних об'єктів функція якості видається поверхнею складної форми, а для багатопараметричних об'єктів - гіперповерхні.

Дуже істотним є зведення про одноекстремальності функції якості. Умовою одноекстремальності відповідають опуклі функції. Так, опукла функція однієї змінної має наступну властивість: будь-яка січна перетинає опуклу функцію не більше ніж в двох точках (Рис.7.3) . Приклад опуклою функції 2-х змінних наведено на рис. 7.4.

Завершальними етапами рішення оптимізаційної задачі є вибір методу оптимізації та сама оптимізація, тобто знаходження оптимальних варійованих параметрів (вхідних змінних), при яких функція якості досягає мінімуму або максимуму.
Вибір методу оптимізації залежить, в основному, від виду функції якості, яка в свою чергу визначається особливостями об'єкта оптимізації: його складністю, структурою, математичним описом об'єкта, наявністю апріорних даних про об'єкт.
Найбільш повно розроблені методи оптимізації, що отримали назву "методи математичного програмування". До них відносяться методи лінійного, геометричного, опуклого, нелінійного, стохастичного програмування.
Для застосування того чи іншого методу необхідно, щоб функція якості відповідала певним вимогам: її аналітичний вираз має бути певного виду.
Наприклад, для застосування методу лінійного програмування функція якості:

(7.2)
Слід мати на увазі, що структура вираження функції якості цілком залежить від особливостей математичного опису об'єкта оптимізації, так як функція якості знаходиться з математичного опису об'єкта.
Як раніше вказувалося, опис об'єкта може бути представлене або у вигляді аналітичних співвідношень, або у вигляді алгоритмів. Остання форма опису практикується при описі складних об'єктів, коли доцільно застосування методів машинного моделювання. Тому не завжди вдається отримати функцію якості в формі явної аналітичної залежності .
Все це ускладнює в багатьох випадках застосування добре розроблених методів математичного програмування.
Для вирішення багатопараметричних оптимізаційних задач при алгоритмічній методі опису об'єктів можуть бути використані пошукові методи оптимізації.
Пояснюючи суть оптимізаційних задач, не можна не зупинитися на особливостях завдання оптимального управління.
В задачах оптимального управління для досягнення екстремального значення функції якості змінюється керуючий вплив (управління) і параметри системи. У загальному вигляді задача оптимального управління може бути сформульована таким чином: слід мінімізувати функцію якості

де - вектор параметрів системи,
- вектор управління,
при виконанні сукупності обмежень виду рівностей і нерівностей, що накладаються на керуючий вплив, параметри і показники якості.
Завдання оптимального управління можна розглядати як найбільш загальну оптимізаційних задач, з якої випливають різні приватні завдання. Дійсно, при постановці завдання оптимального управління береться повна сукупність даних.
Відмінною особливістю цього завдання є включення в сукупність умов вектора управління (Керуючих впливів), що забезпечує екстремізація функції якості. Таким чином сукупність умов в загальному випадку складається з сукупностей впливів: постійних, випадкових (перешкод) і керуючих. вектор управління , Як і вектор параметрів , Є змінними змінними.
Теорія оптимального управління, в основному, створювалася при вирішенні завдань автоматичного управління. Але це не означає, що будь-яка система автоматичного управління працює за законами оптимального управління. Системи автоматичного управління можуть бути оптимальними в певному сенсі (відповідно до обраного показником якості), а можуть бути неоптимальними.
Але в системах автоматичного управління найбільш повно реалізуються принципи оптимального управління, тобто досягнення екстремального значення функції якості за рахунок зміни керуючих впливів (вектора управління) і параметрів САУ. Характерно також, що завдання оптимального управління цілком залежать від особливостей об'єкта. Якщо об'єкт управління і середовище, в якому він функціонує, не змінюють своїх властивостей, то задача зводиться до однократному досягненню екстремальної мети, тобто до задачі оптимізації. Можливий інший випадок, коли властивості об'єкта управління змінюються в часі, внаслідок чого необхідно організувати процес стеження за екстремальної метою. Такого роду завдання є спільним завданням оптимального управління.

На початок сторінки