OPTYMALIZACJA SAU

Ustawianie problemu optymalizacji

Wybór struktury i parametrów ACS określa jego właściwości dynamiczne. Stabilność systemu z reguły jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym, aby system spełnił swój cel. Wyzwaniem jest zapewnienie nie tylko trwałości, ale także właściwej jakości ACS, a ponadto najlepszego (optymalnego) w pewnym sensie, sposobu działania. Takie zadanie można nazwać zadaniem optymalizacji.
Sformułowanie problemu optymalizacji i jego rozwiązania obejmuje szereg etapów:

• wybór i uzasadnienie celu optymalizacji;
• dostosowanie celu do dostępnych możliwości, tj. uwzględnienie ograniczeń;
• wdrożenie metody osiągnięcia celu (wartość eksperymentalna kryterium jakości) przy uwzględnieniu ograniczeń.

Wybór i uzasadnienie celu optymalizacji przewiduje zdefiniowanie kryteriów jakości (funkcji celu), które najlepiej odzwierciedlałyby cele optymalizacji. Ten etap jest jednym z głównych, ponieważ rozwiązanie problemu jako całości zależy od poprawności wyboru kryterium jakości.
Drugi etap rozwiązywania problemu związany jest z definicją ograniczeń, które należy uwzględnić w procesie optymalizacji. Znaczenie tego etapu polega na tym, że często jakość systemu charakteryzuje się nie jednym, ale grupą wskaźników jakości, więc jeśli system jest zoptymalizowany pod kątem jednego wskaźnika jakości, inne mogą osiągnąć tę wartość. Dlatego, jeśli jakikolwiek parametr systemu jest wybrany jako kryterium jakości, wówczas inne wskaźniki jakości i zmienne parametry podlegają ograniczeniom.
W realizacji trzeciego etapu stosuje się jedną lub inną metodę optymalizacji, która zapewnia rozwiązanie postawionego problemu - osiągnięcie skrajnej wartości kryterium jakości, biorąc pod uwagę ograniczenia.
Aby uzyskać pełniejszy obraz zadań optymalizacyjnych, zajmijmy się bardziej szczegółowo charakterystyką obiektu optymalizacji i całością danych niezbędnych do optymalizacji obiektu.
Optymalizację obiektów można sklasyfikować za pomocą wielu znaków. Te funkcje obejmują:
- liczba zoptymalizowanych parametrów obiektu;

- liczba skrajnych charakterystyk obiektu użytego jako wskaźnik jakości;
- ilość a priori informacji o obiekcie;
- Metoda opisu matematycznego obiektu.

W zależności od liczby zmiennych parametrów wyróżnia się obiekty jedno- i wieloparametryczne. W zależności od liczby ekstremów, obiekty są podzielone na pojedyncze ekstremum i multi-ekstremalne, aw drugim przypadku, problem optymalizacji jest ograniczony do znalezienia globalnego ekstremum, tj. minimalne minimum i maksimum.
W zależności od ilości informacji a priori mogą istnieć obiekty ekstremalne, dla których istnieje opis matematyczny, oraz zależność wskaźnika jakości z zoptymalizowanych parametrów znany. Dla takich obiektów istnieje wystarczająca ilość informacji a priori. Istnieje również duża klasa obiektów, dla których nie ma opisu matematycznego. Niewielka ilość informacji a priori o takich obiektach spowodowała, że ​​nazwano je obiektami „czarnej skrzynki”.
Wraz z ogólnym sformułowaniem problemu optymalizacji wprowadzono koncepcję zestawu danych. wymagane do optymalizacji obiektu (systemu). Zestaw danych zawiera następujące zestawy:

• warunki ;
• zoptymalizowane parametry ;
• wskaźniki jakości ;
• ograniczenia .

Zestaw warunków obejmuje charakterystyki sygnałów użytecznych i zakłóceń E, wpływających na obiekt.
Zestaw zoptymalizowanych parametrów tworzy wektor parametrów obiektu optymalizacji i charakteryzuje typ problemu optymalizacji. Jeśli liczba parametrów do zoptymalizowania jest większa niż jeden (n> 1), to zadanie odnosi się do wieloparametrowego, a dla n = 1 zmienia się w jeden parametr.
Zestaw wskaźników jakości tworzy wektor wskaźników jakości obiektu. .
Jeśli konieczne jest scharakteryzowanie obiektu za pomocą grupy wskaźników jakości, zadanie jest klasyfikowane jako wielokryterialne lub wektorowe, ale jeśli do optymalizacji wybrano tylko jeden wskaźnik jakości, zadanie przechodzi w jedno kryterium lub skalar.
Zestaw ograniczeń odgrywa bardzo ważną rolę w formułowaniu i rozwiązywaniu problemu optymalizacji. Najczęstsze ograniczenia to rodzaj równości ( ) lub nierówności ( ). Ograniczenia nakładane są na zmienne parametry, a także na wskaźniki jakości. Jeśli w problemie optymalizacji wektora przetłumaczymy część wskaźników jakości na kategorię ograniczeń, możemy zredukować ją do problemu z jednym kryterium (skalarnym).

W ogólnym przypadku obiekt optymalizacji wieloparametrowej można przedstawić jako wielowymiarowy system (rys. 7.1) z n kontrolowanymi wejściami charakteryzowanie zmiennych parametrów, z którymi system jest zoptymalizowany. Obiekt jest również pod wpływem zestawu warunków (użytecznych i zakłócających sygnałów) . Wektory X i E są dołączone do obiektu.
Informacje o działaniu obiektu są usuwane z jego wyjść. Jednym z nich jest skalar lub wektor wskaźnik jakości. Wskaźnik jakości skalarnej służy do optymalizacji skalarnej, a wektor - do optymalizacji wielokryterialnej (wektorowej).
Ponadto obiekt ma wyjścia k + p odpowiadające zestawowi ograniczeń rodzaje równości i nierówności .
Wybierając funkcję jakości, należy przestrzegać następujących wymagań. Funkcja jakości powinna

• odzwierciedlać najważniejsze cechy obiektu, określając jego zamierzony cel;
• mieć ekstremum w dozwolonym zakresie.

Konieczne jest rozróżnienie ekstremów lokalnych i globalnych. Zatem dla obiektu z jednym parametrem zmiennym (n = 1) funkcja jakości jest funkcją jednej zmiennej (Rys.7.2) , który może mieć kilka skrajności lokalnych, ale tylko jeden z nich jest globalny ( na rys.7.2 ). W ogólnym przypadku globalne minimum (maksimum) jest definiowane jako najmniejsze (największe) z N lokalnych:

(7.1)
W przypadku obiektów 2-parametrycznych funkcja jakości jest reprezentowana przez powierzchnię o złożonym kształcie, aw przypadku obiektów wieloparametrycznych jest to hiperprzestrzeń.

Informacje na temat jednej skrajności funkcji jakości są bardzo istotne. Stan jednej ekstremalności odpowiada funkcjom wypukłym. Zatem wypukła funkcja pojedynczej zmiennej ma następującą właściwość: każda sieczna przecina funkcję wypukłą w nie więcej niż dwóch punktach. (Rys.7.3) . Przykład wypukłej funkcji 2 zmiennych pokazano na ryc. 7.4.

Ostatnim etapem rozwiązywania problemu optymalizacji jest wybór metody optymalizacji i samej optymalizacji, tj. znalezienie optymalnych parametrów zmiennych (zmiennych wejściowych), przy których funkcja jakości osiąga minimum lub maksimum.
Wybór metody optymalizacji zależy głównie od rodzaju funkcji jakości, która z kolei zależy od cech obiektu optymalizacyjnego: jego złożoności, struktury, opisu matematycznego obiektu oraz obecności danych a priori o obiekcie.
Najbardziej rozwinięte metody optymalizacji, zwane „metodami programowania matematycznego”. Obejmują one metody programowania liniowego, geometrycznego, wypukłego, nieliniowego, stochastycznego.
W celu zastosowania metody konieczne jest, aby funkcja jakości spełniała określone wymagania: jej wyrażenie analityczne musi być określonego typu.
Na przykład, aby użyć metody programowania liniowego, funkcja jakości:

(7.2)
Należy pamiętać, że struktura wyrażenia funkcji jakości zależy całkowicie od cech opisu matematycznego obiektu optymalizacyjnego, ponieważ funkcja jakości znajduje się na matematycznym opisie obiektu.
Jak wcześniej wskazano, opis obiektu może być reprezentowany w postaci relacji analitycznych lub w formie algorytmów. Ostatnia forma opisu jest praktykowana w opisie obiektów złożonych, gdy wskazane jest stosowanie metod modelowania maszynowego. Dlatego nie zawsze jest możliwe uzyskanie funkcji jakości w postaci wyraźnej zależności analitycznej .
Wszystko to utrudnia w wielu przypadkach stosowanie dobrze rozwiniętych metod programowania matematycznego.
Aby rozwiązać problemy optymalizacji wieloparametrowej za pomocą algorytmicznej metody opisywania obiektów, można zastosować metody optymalizacji wyszukiwania.
Wyjaśniając istotę problemów optymalizacyjnych, nie można nie myśleć o cechach optymalnego problemu sterowania.
W problemach optymalnej kontroli, w celu osiągnięcia skrajnej wartości funkcji jakości, zmienia się działanie kontrolne (sterowanie) i parametry systemu. Ogólnie rzecz biorąc, optymalny problem sterowania można sformułować w następujący sposób: funkcja jakości powinna być zminimalizowana

gdzie - wektor parametrów systemu,
- wektor kontrolny,
przy wykonywaniu zestawu ograniczeń typu równości i nierówności nałożonego na kontrolujący wpływ, parametry i wskaźniki jakości.
Optymalny problem sterowania można uznać za najbardziej ogólny problem optymalizacji, z którego wynikają różne szczególne problemy. Rzeczywiście, podczas formułowania optymalnego problemu sterowania, pobierany jest pełny zestaw danych.
Charakterystyczną cechą tego zadania jest włączenie do zestawu warunków wektora kontrolnego (działania kontrolne) zapewniające ekstremalizację funkcji jakości. Zatem zbiór warunków w ogólnym przypadku składa się z zestawów efektów: stałych, losowych (interferencja) i kontroli. Wektor kontrolny jako wektor parametrów są zmiennymi zmiennymi.
Teoria optymalnej kontroli została stworzona głównie podczas rozwiązywania problemów z automatyczną kontrolą. Nie oznacza to jednak, że jakikolwiek automatyczny system sterowania działa zgodnie z prawami optymalnej kontroli. Systemy automatycznego sterowania mogą być w pewnym sensie optymalne (zgodnie z wybranym wskaźnikiem jakości) i mogą nie być optymalne.
Jednak w systemach sterowania automatycznego zasady optymalnej kontroli są w pełni realizowane, tj. osiągnięcie skrajnej wartości funkcji jakości ze względu na zmiany w działaniach kontrolnych (wektor kontrolny) i parametry ACS. Charakterystyczne jest również, że optymalne problemy sterowania całkowicie zależą od cech obiektu. Jeśli obiekt kontrolny i środowisko, w którym działa, nie zmieniają swoich właściwości, zadanie zostaje zredukowane do pojedynczego osiągnięcia celu ekstremalnego, tj. do problemu optymalizacji. Inny przypadek jest możliwy, gdy właściwości obiektu kontrolnego zmieniają się w czasie, w wyniku czego konieczne jest zorganizowanie procesu śledzenia celu ekstremalnego. Tego rodzaju zadanie jest ogólnym zadaniem optymalnej kontroli.

Do góry strony